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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 8: 可测函数及其基本性质 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}


在之前的课程中, 虽然已经解决了建立新积分方法的首要问题, 把Riemann积分中用到的区间长度概念推广,建立了较一般集上的测度理论.``积分''是对函数进行运算, 对于定义在集 \( E \) 上的一个函数 \( f \),先得对它作和式
\[S = \sum\limits_{i=1}^{n} \xi_i \mu(E_i), \quad E_i = E(y_{i-1} \leqslant f(x) < y_i)\]
然后才能研究 \( S \) 是否在某种意义下有极限值. 由此可见,有了测度概念后,要建立``积分'',还必须对 \( E \) 上的函数 \( f \) 加以适当的限制,即要求每个 \( E_i \) 是可测集,这样和式 \( S \) 才有意义,就是说要求 \( f \) 具有这样的性质:对任何实数 \( c,d \),集
\[E(c \leqslant f(x) < d)\]
是可测集. 我们只能对具有这种性质的函数来建立``积分''. 后面我们将称具有这种性质的函数为``可测''函数. 同时,我们也应要求当 \( f,g \) 都``可积''和 \( \alpha,\beta \) 是常数时, \( \alpha f + \beta g \) 也可以``积分''(Riemann积分就具有这样的性质). 再如,当 \( f_n,(n=1,2,\dots) \) 都可``积分'',并且 \( \{f_n\} \) 在某种意义下收敛(Riemann积分中常用的是``一致收敛'')于 \( f \) 时,也希望 \( f \) 是可``积分''的等等. 这样很自然地,必须考察``可测''函数的和、可测函数列的极限是否仍为``可测''函数的问题. 这就是这一节的任务. 

\section{可测函数}

\begin{definition}
设 \( X \) 是基本空间, \(\mathbf R \) 是 \( X \) 上的一个 \( \sigma - \text{环}, \) 并且
\[ X = \bigcup\limits_{E \in\mathbf R} E \]
称 \( (X,\mathbf R) \) 是\textbf{可测空间}, 相应地, 称 \(\mathbf R \) 中的每个元素 \( E \) 是 \textbf{\( (X,\mathbf R) \) 上的可测集}, 简称为\textbf{可测集}. 特别, 当 \( X \) 是实数直线 \( \mathbb E^1 \), \(\mathbf R =\mathbf L^g \) 或 \(\mathbf L \) 时, 分别称 \( (\mathbb E^1,\mathbf L^g), (\mathbb E^1,\mathbf L) \) 是\textbf{Lebesgue-Stieltjes可测空间}, \textbf{Lebesgue可测空间}; 当 \( X \) 是 \( \mathbb E^1 \), \(\mathbf R =\mathbf S(R_0) =\mathbf B \) 时, 称 \( (\mathbb E^1,\mathbf B) \) 是 \textbf{Borel 可测空间}. 
\end{definition}

Lebesgue可测空间上可测集称为Lebesgue可测集, Borel 可测空间的可测集 (即 Borel 集) 称为 Borel 可测集. 

\begin{rmk}
	定义可测空间、可测集时, 严格地说, 并不要求在 \(\mathbf R \) 上已经具有某个测度, 即把可测空间、可测集概念本质上当作是集合论范畴的概念, 这已是通行的看法. 另外, 在很多场合, 把可测空间 \( (X,\mathbf R) \) 中的 \(\mathbf R \) 规定为 $\sigma$-代数 (在应用中已足够了) , 本课程中采用规定 \(\mathbf R \) 是 $\sigma$-环.
\end{rmk}  

下面引入可测函数的概念. 

\begin{definition}
设 \( (X,\mathbf R) \) 是可测空间, \( E \) 是 \( X \) 的一个子集, \( f \) 是定义在 \( E \) 上的有限实函数. 如果对一切实数 \( c \), 集 \( E(c \leqslant f) \) 都是 \( (X,\mathbf R) \) 上可测集 (即 \( E(c \leqslant f) \in\mathbf R \)) , 那么称 \( f \) 是 \( E \) \textbf{上关于 \( (X,\mathbf R) \) 的可测的函数}, 简称是 \textbf{\( E \) 上可测函数}. 
\end{definition}

特别, 当 \( (X,\mathbf R) \) 是Lebesgue-Stieltjes可测空间 \( (\mathbb E^1,\mathbf L^g) \), Lebesgue可测空间 \( (\mathbb E^1,\mathbf L) \) 或是 Borel 可测空间 \( (\mathbb E^1,\mathbf B) \) 时, 分别称 \( f \) 是 \( E \) 上 (关于 \( g \) 的) Lebesgue-Stieltjes可测函数, Lebesgue可测函数 或 Borel 可测函数. 

可测函数的这个定义与本节一开始所说的``可测''函数的概念是等价的. 

\begin{theorem}\label{thm3.1.1}
设 \( (X,\mathbf R) \) 是可测空间, \( f \) 是定义在 \( E \subseteq X \) 上的有限实函数, \( f \) 是 \( E \) 上可测函数的充要条件是对一切实数 \( c \) 和 \( d \), 集
\( E(c \leqslant f < d) \) 是可测集. 
\end{theorem}

\begin{proof}
设 \( f \) 是可测函数, 由于 \( E(c \leqslant f < d) = E(c \leqslant f) - E(d \leqslant f) \), 而 \( E(c \leqslant f), E(d \leqslant f) \) 都是可测集, 所以 \( E(c \leqslant f < d) \) 是可测集. 反之, 如果已知对任何 \( c, d, E(c \leqslant f < d) \) 是可测集, 那么由
\[ E(c \leqslant f) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(c \leqslant f < c + n) \]
立即推出 \( E(c \leqslant f) \) 是可测集.
\end{proof}

现在举几个例子. 

\begin{example}\label{eg1}
定义在 \([a, b]\) 上的任何一个连续函数 \( f \) 是 \([a, b]\) 上Lebesgue可测函数. 
\end{example}

事实上, 对任何实数 \( c \), 由 \( f \) 的连续性, 集 \(\{ x | x \in [a, b], c \leqslant f \}\) 是 \([a, b]\) 中的闭集, 因此它是可测集. 所以 \( f \) 是 \([a, b]\) 上的可测函数. 

\begin{example}\label{eg2}
设函数 \( f \) 是定义在 \((-\infty, \infty)\) 上, 它分别在互不相交区间 \(\langle a_i, b_i \rangle\) 上取常数 \(\alpha_i,(i = 1, 2, \dots, n)\), 而在 \(\bigcup\limits_{i=1}^{n} \langle a_i, b_i \rangle\) 外函数值为零. 这种函数称为\textbf{阶梯函数}, 它是Lebesgue可测函数. 
\end{example}

事实上, 这是因为对任何实数 \( c \), \(\{ x | -\infty < x < \infty, c \leqslant f \}\) 或是全直线, 或是空集, 或是有限个区间的和集. 它们都是Lebesgue可测的. 

\begin{example}\label{eg3}
比例 \ref{eg2} 更一般地, 设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间,
\[E, E_i \in\mathbf R, i = 1, 2, \dots, n, E \supseteq \bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i,\,\text{且}\, E_i \cap E_j = \varnothing, i \neq j. \] 
\(f(x)\) 是定义在 \( E \) 上的函数, 它在集 \( E_i \) 上取常数 \(\alpha_i\), 而在 \(\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i\) 之外为零, 这种函数是 \( E \) 上的可测函数. 
\end{example}

\begin{example}[不可测函数的例]\label{eg4}
\((\mathbb E^1,\mathbf L)\) 是Lebesgue可测空间, \(Z\) 是Lebesgue不可测集, \(f(x)\) 是 \( Z \) 的特征函数 \(\chi_Z(x), x\in \mathbb E^1\). 由于 
\[\left\{ x \middle| x \in \mathbb E^1, \chi_Z(x) \geqslant \frac{1}{2}\right\} = Z,\] 
所以 \(\mathbb E^1\) 上的函数 \(\chi_Z(x)\) 不是Lebesgue可测的函数. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg5}
也有这样的可测空间 \((X,\mathbf R)\), 定义在 \(X\) 上的所有函数都是可测的. 例如, 取 \(\mathbf R\) 为 \(X\) 的所有子集全体. \(f\) 是定义在 \(X\) 上的任何一个有限实函数, 对任何 \(c\), 显然 \(X(c \leqslant f) \in\mathbf R\), 所以 \(f\) 是 \(X\) 上的可测函数. 特别, 当 \(X\) 是自然数集 \(\mathbb N\) 时, 定义在 \(\mathbb N\) 上任何函数 \(f\) 必是 \((\mathbb N,\mathbf R)\) 上可测函数. 
\end{example}

\section{可测函数的性质}

\begin{theorem}\label{thm3.1.2}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \(E \subseteq X\), \(f\) 是定义在 \(E\) 上的有限的实函数. 下列命题成立: 
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item\label{thm3.1.2.1} 当 \(f\) 是 \(E\) 上可测函数时, \(E\) 本身必是可测集; 
  \item\label{thm3.1.2.2} 当 \(f\) 是 \(E\) 上可测函数时, \(f\) 作为 \(E\) 的任何可测子集 \(E_1\) 上函数时, 它是 \(E_1\) 上的可测函数; 
  \item\label{thm3.1.2.3} 设 \(E_1 \cap E_2 = \varnothing, E = E_1 \cup E_2, E_1, E_2\) 是可测集, 那么 \(f\) 是 \(E\) 上的可测函数的充要条件是 \(f\) 为 \(E_j (j=1, 2)\) 上的可测函数; 
  \item\label{thm3.1.2.4} 当 \(\mathbf R\) 是 \(\sigma\)-代数时, 集 \(E\) 是可测集的充要条件是定义在 \(X\) 上的集 \(E\) 的特征函数 \(\chi_E(x)\) 为可测函数. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item[\ref{thm3.1.2.1}] 因为
  \[E = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(-n \leqslant f)\]
  而根据可测函数的定义, 集 \(E(-n \leqslant f)\) 是可测的, 所以 \(E\) 是可测集. 
  \item[\ref{thm3.1.2.2}] 对任何实数 \(c\), 由于
  \[E_1(c \leqslant f) = E(c \leqslant f) \cap E_1\]
  而 \(E(c \leqslant f)\) 和 \(E_1\) 都是可测集, 所以 \(E_1(c \leqslant f)\) 是可测集, 即 \(f\) 作为 \(E_1\) 上函数时, 它是 \(E_1\) 上的可测函数. 

  \item[\ref{thm3.1.2.3}] 设 \( f \) 是 \( E \) 上可测函数, 由 \ref{thm3.1.2.2}, \( f \) 是 \( E_1 \), \( E_2 \) 的可测函数. 反过来,如果 \( f \) 是 \( E_1 \), \( E_2 \) 上可测函数,对任何实数 \( c \),由于
  \[E(c \leqslant f) = E_1 (c \leqslant f) \cup E_2 (c \leqslant f)\]
  所以 \( E(c \leqslant f) \) 是可测集,即 \( f \) 是 \( E \) 上可测函数. 

  \item[\ref{thm3.1.2.4}] 必要性:由于
  \[X(c \leqslant \chi_E(x)) =
  \begin{cases}
  \varnothing, & \text{当 } c > 1 \\
  E, & \text{当 } 1 \geqslant c > 0 \\
  X, & \text{当 } 0 \geqslant c
  \end{cases}\]
  而 \(\varnothing, E, X\) 都是可测集,所以 \( \chi_E(x) \) 是 \( X \) 上可测函数. 充分性由上面式子即知. 
\end{enumerate}
\end{proof}

显然,性质 \ref{thm3.1.2.3} 可以推广到有限个或可列个可测集 \( E_1, E_2, \dots, E_n, \dots \),并且 \( E_i, E_j \) 可以相交的情况. 

为今后讨论的方便,再介绍可测函数的另外几个等价定义. 

\begin{theorem}\label{thm3.1.3}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \( E \subseteq X \). 下面三种条件中的任何一个都是 \( E \) 上有限的实函数 \( f \) 成为可测函数的充要条件:
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item\label{thm3.1.3.1} 对任何 \( c \), 集 \( E(c < f) \) 是可测集;
  \item\label{thm3.1.3.2} 对任何 \( c \), 集 \( E(f \leqslant c) \) 是可测集;
  \item\label{thm3.1.3.3} 对任何 \( c \), 集 \( E(f < c) \) 是可测集. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
要证明以上三种条件 \ref{thm3.1.3.1}, \ref{thm3.1.3.2}, \ref{thm3.1.3.3} 都是可测函数的充要条件,只要由函数的可测性推出 \ref{thm3.1.3.1}, 由 \ref{thm3.1.3.1} 推出 \ref{thm3.1.3.2}, 由 \ref{thm3.1.3.2} 又推出 \ref{thm3.1.3.3}, 再证满足条件 \ref{thm3.1.3.3} 的函数一定是可测函数就可以了. 

现在证明可测函数有性质 \ref{thm3.1.3.1}: 对任何 \( c \), 由于
\[E(c < f) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E\left(c + \frac{1}{n} \leqslant f\right)\]
根据函数的可测性,上述右边的每个 \( E\left(c + \frac{1}{n} \leqslant f\right) \) 是可测集,所以 \( E(c < f) \) 是可测集. 

\ref{thm3.1.3.1} $\implies$ \ref{thm3.1.3.2}:  设$f$满足条件 \ref{thm3.1.3.1}, 那么 \( E(-n<f) \) 是可测集. 因为 \( E =\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(-n<f) \), 所以 \( E \) 是可测集. 对任何 \( c \), 由于
\[E(f\leqslant c)=E-E(c<f),\]
再根据 \ref{thm3.1.3.1}, 立即知道 \( E(f\leqslant c) \) 是可测集. 

\ref{thm3.1.3.2} $\implies$ \ref{thm3.1.3.3}:  设$f$满足条件 \ref{thm3.1.3.2}, 那么 \( E(f\leqslant c-\frac{1}{n}) \) 是可测集. 对任何 \( c \), 由于
\[E(f<c)=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E\left(f\leqslant c-\frac{1}{n}\right)\]
所以 \( E(f<c) \) 是可测集. 

最后再证满足 \ref{thm3.1.3.3} 的函数必是可测函数: 设$f$满足条件 \ref{thm3.1.3.3}, 由于
\[E=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(f<n)\]
所以 \( E \) 是可测集, 再利用等式
\[E(c\leqslant f)=E-E(f<c)\]
便推出 \( E(c\leqslant f) \) 是可测集, 所以 \( f \) 是可测函数.
\end{proof}

下面转入可测函数之间的代数运算和函数列极限的讨论. 

\begin{theorem}\label{thm3.1.4}
设 \( (X,\mathbf R) \) 是可测空间, \( E\subseteq X \). 又设 \( f,g \) 都是 \( E \) 上的可测函数, 那么
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item\label{thm3.1.4.1} 对任何实数 \( \alpha, \alpha f \) 是 \( E \) 上的可测函数. 
  \item\label{thm3.1.4.2} \( f+g \) 是 \( E \) 上的可测函数. 
  \item\label{thm3.1.4.3} \( fg \) 以及 \( f/g \) (假设对每个 \( x\in E, g(x)\neq0 \)) 都是 \( E \) 上的可测函数. 
  \item\label{thm3.1.4.4} \(\max(f,g), \min(f,g)\) 都是 \( E \) 上的可测函数. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item[\ref{thm3.1.4.1}] 当 \( \alpha=0 \) 时, \( \alpha f \equiv 0 \), 显然它是 \( E \) 上可测函数. 当 \( \alpha>0 \)
  时, 对任何 \( c \), 由于
  \[ E(c \leqslant \alpha f) = E\left( \frac{c}{\alpha} \leqslant f \right), \]
  而 \( E\left( \frac{c}{\alpha} \leqslant f \right) \) 是可测集, 所以 \( E(c \leqslant \alpha f) \) 是可测集, 因此 \(\alpha f\) 是可测函数. 同样可考察 \(\alpha < 0\) 的情况. 

  \item[\ref{thm3.1.4.2}] 设 \( r_1, r_2, \dots, r_n, \dots \) 是有理数全体, 对任何 \( c \), 下面等式成立: 
  \begin{equation}\label{3.1.1}
  	E(c < f + g) = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} (E(f > r_i) \cap E(g > c - r_i))
  \end{equation}

  事实上, 对任何 \( x_0 \in E(c < f + g) \), 那么
  \[ f(x_0) > c - g(x_0). \]因此, 至少有一个有理数 \( r_i \), 使得
  \[ f(x_0) > r_i > c - g(x_0), \]
所以这个 \( x_0 \in E(f > r_i) \cap E(g > c - r_i) \). 从而
\begin{equation}\label{3.1.2}
	E(c < f + g) \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} (E(f > r_i) \cap E(g > c - r_i))
\end{equation}

  反过来, 对任何 
  \[ x_0 \in \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} (E(f > r_i) \cap E(g > c - r_i)), \] 
  必存在某个 \( i \), 使得 
  \[ x_0 \in E(f > r_i) \cap E(g > c - r_i), \]
  即同时成立着
  \[ f(x_0) > r_i,\quad g(x_0) > c - r_i, \]
  从而 \( f(x_0) + g(x_0) > c \), 即 \( x_0 \in E(c < f + g) \). 也就是说
  \begin{equation}\label{3.1.3}
  	E(c < f + g) \supseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} (E(f > r_i) \cap E(g > c - r_i))
  \end{equation}
  \eqref{3.1.2}、\eqref{3.1.3}结合起来就是\eqref{3.1.1}. 

  当 \( f, g \) 可测时, \eqref{3.1.1}右边的每个集都是可测集, 所以 \( E(c < f + g) \) 是可测集, 即 \( f + g \) 是可测函数. 

  由 \ref{thm3.1.4.1}, \ref{thm3.1.4.2}, 显然可知任意有限个可测函数的线性组合也是可测的. 

  \item[\ref{thm3.1.4.3}] 先证明 \( f^2 \) 是可测的. 事实上, 对任何非负数 \( c \), 由于
  \[ E(f^2 \geqslant c) = E(f \geqslant \sqrt{c}) \cup E(f \leqslant -\sqrt{c}), \]
  所以 \( E(f^2 \geqslant c) \) 是可测集. 而当 \( c < 0 \) 时, \( E(f^2 \geqslant c) = E \), 这也是可测集. 这就是说 \( f^2 \) 是可测函数. 一般情况, 由于
  \[ fg = \frac{1}{4} \{(f + g)^2 - (f - g)^2\} \]
  再根据 \ref{thm3.1.4.1}, \ref{thm3.1.4.2} 以及刚证明的性质, \( fg \) 也是可测函数. 
  
  关于 \( f/g \) 的可测性可以这样证明: 由于
  \[ E\left( \frac{1}{g} > c \right) =
  \begin{cases}
  E\left( g < \frac{1}{c} \right) \cap E(g > 0), & \text{当 } c > 0 \\
  E(g > 0) \cup \left( E(g < 0) \cap E(g < \frac{1}{c}) \right), & \text{当 } c < 0 \\
  E(g > 0), & \text{当 } c = 0
  \end{cases}\]
上述三种情况 (\( c > 0, c < 0, c = 0 \)) 右边所出现的集都是可测的, 所以 \(\frac{1}{g}\) 是可测函数. 因此 \( f/g = f \cdot 1/g \) 是可测函数. 

  \item[\ref{thm3.1.4.4}] 对任何 \( c \), 由于
  \[ E(c \leqslant \max(f, g)) = E(c \leqslant f) \cup E(c \leqslant g) \]
  所以 \(\max(f, g)\) 是可测函数. 但是 \(\min(f, g) = -\max(-f, -g)\), 利用 \ref{thm3.1.4.1} 便得到 \(\min(f, g)\) 也是可测的. 
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
	如果 \( f \) 在 \( E \) 上是可测的, \( |f| \) 也在 \( E \) 上是可测的. 
\end{corollary}

\begin{proof}
由于
\( |f| = \max(f, -f) \)
根据定理 \ref{thm3.1.4} 的 \ref{thm3.1.4.1}, \ref{thm3.1.4.4} 便知道 \( |f| \) 是可测函数. 
\end{proof}

\section{可测函数列的极限}

关于可测函数列有如下结果. 

\begin{theorem}\label{thm3.1.5}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \( E \subseteq X \). 又设 \(\{f_n\}\) 是 \( E \) 上一列可测函数, 那么当 \(\{f_n\}\) 的上确界函数、下确界函数、上限函数、下限函数等分别是有限函数时, 它们都是 \( E \) 上的可测函数. 
\end{theorem}

\begin{proof}
先证 \(\{f_n\}\) 的上确界函数 \( F \) 是可测的. 因为
\[F(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \max \{ f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x) \}\]
由于 \( F_n(x) = \max \{ f_1(x), \dots, f_n(x) \} \) 是可测函数, 而且 \(\{F_n(x)\}\) 是函数的单调增加序列, \( F(x) = \lim\limits_{n \to \infty} F_n(x) \). 所以对任何 \( c \),
\[E(F > c) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(F_n > c),\]
从而 \( E(F > c) \) 是可测集. 

同样, \(\{f_n\}\) 的下确界函数
\[f = \lim\limits_{n \to \infty} \min \{ f_1, f_2, \dots, f_n \}
= - \lim\limits_{n \to \infty} \max \{-f_1, -f_2, \dots, -f_n\}\]
所以 \( f \) 是可测函数. 

再证 \(\{f_n\}\) 的上限函数 \(\limsup\limits_{n \to \infty} f_n\) 是可测的. 记 \( G_n \) 为序列 \( f_n, f_{n+1}, \dots, f_{n+m}, \dots \) 的上确界函数, 根据上面所证, \( G_n \) 为可测的, 根据极限论中:
\begin{align*}
	\liminf_{n\to\infty}f_n(t)&=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\min\{f_n(t),\dots,f_m(t)\},\\
	\limsup_{n\to\infty}f_n(t)&=\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\max\{f_n(t),\dots,f_m(t)\}.
\end{align*}
我们知道
\[\lim\limits_{n \to \infty} f_n = \lim\limits_{n \to \infty} G_n\]
但是 \( G_1 \geqslant G_2 \geqslant \cdots \geqslant G_n \geqslant \cdots \), 因此 \(\lim\limits_{n \to \infty} G_n \) 又是可测函数列 \(\{G_m\}\) 的下确界函数, 它是可测的. 所以 \(\limsup\limits_{n \to \infty} f_n \) 是可测的. 

同样可证 \(\liminf\limits_{n \to \infty} f_n \) 是可测的.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{cor3.1.5}
	设 \(\{f_n\}\) 是 \( E \) 上一列有限的可测函数, 如果对一切 \( x \in E \), \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n \) 存在, 而且是有限值, 那么极限函数 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n \) 是可测的. 
\end{corollary}

\begin{proof}
因为 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n = \limsup\limits_{n \to \infty} f_n = \liminf\limits_{n \to \infty} f_n \), 所以它是可测的. 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm3.1.6}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \( E \subseteq X \). 又设 \( f \) 是 \( E \) 上有限的可测函数, 一定存在一列 \(\{f_n\}\), 每个 \( f_n \) 是可测集的特征函数的线性组合,使得 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上处处收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

这个定理说明用可测集的特征函数线性组合可以逼近可测函数. 

\begin{proof}
事实上,对任何自然数 \(n\),记
\[ E_j^{(n)} = E \left( \frac{j}{n} \leqslant f < \frac{j+1}{n} \right), \quad j = -n^2, -n^2 + 1, \dots, 0, 1, \dots, n^2 - 1 \]
作出函数
\[ f_n = \sum\limits_{j=-n}^{n^2-1} \frac{j}{n} \chi_{E_j^{(n)}} \]
显然,它是 \(E\) 上可测集的特征函数的线性组合. 任取 \(x_0 \in E\),由于 \(|f(x_0)| < \infty\),所以存在 \(N\),使得 \(|f(x_0)| < N\),这时对自然数 \(n \geqslant N\),总有一个整数 \(j\), \(-n^2 \leqslant j < n^2 - 1\),使得 \(\frac{j}{n} \leqslant f(x_0) < \frac{j+1}{n}\),即 \(x_0 \in E_j^{(n)}\). 然而根据 \(f_n\) 作法知道 \(f_n(x_0) = \frac{j}{n}\),所以当 \(n \geqslant N\) 时,
\[ |f_n(x_0) - f(x_0)| < \frac{1}{n} \]
这就是说 \(\{f_n(x_0)\}\) 收敛于 \(f(x_0)\). 由于 \(x_0\) 是 \(E\) 中任意取的,故 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上处处收敛于 \(f\).
\end{proof}

下面是一个有用的推论,由读者自己证明它. 

\begin{corollary}
	设 \(f\) 是 \(E\) 上有界的可测函数,必存在可测集上特征函数的线性组合的函数序列 \(\{f_n\}\),使得 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上一致收敛于 \(f\).
\end{corollary}

\section{允许取 \(\pm \infty\) 值的可测函数}

前面讨论的可测函数都是限定函数值是有限的. 在某些场合(特别是出现极限运算时),如将可测函数概念推广到可取 \(\pm \infty\) 值的函数是有一定方便的. 

\begin{definition}
设 \((X, R)\) 是可测空间, \(E \subseteq X\), \(f\) 是定义在 \(E\) 上的实函数(允许取值 \(\pm \infty\)). 如果对任何实数 \(c(c\) 可以是 \(\pm \infty\)), \(E(c \leqslant f)\)
\(\subseteq R\), 那么称 \(f\) 是 \(E\) 上 (关于 \((X, R)\)) 的可测函数, 简称是 \(E\) 上的可测函数. 
\end{definition}

取 \(c = -\infty\), 从 \(E = E(-\infty \leqslant f)\) 知道可测函数 \(f\) 的定义域 \(E\) 必是可测集. 

从定义以及等式
\[E(f = +\infty) = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E(n \leqslant f),\quad E = E(f = -\infty) \cup \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(-n < f) \right)\]

立即又知道 \(E(f =+\infty)\), \(E(f = -\infty)\) 都是可测集. 从而 \(E_1 = E - (E(f = \infty) \cup E(f = -\infty))\) 是可测集, 并且 \(f\) 是 \(E_1\) 上的有限实函数. 又由于 \(E_1(f \geqslant c) = E_1 \cap E(f \geqslant c)\), 所以 \(f\) 是 \(E_1\) 上有限的可测函数. 允许取 \(\pm \infty\) 值的可测函数具有与有限可测函数相仿的代数与极限性质, 而证明方法差不多也是一样的, 有时仅需对取到 \(\pm \infty\) 值的那些集作一点单独处理, 不难把本节中的定理 \ref{thm3.1.1}-\ref{thm3.1.6} 的结果加以推广. 今将它们概括为如下四个定理 (读者自己证明) . 

\begin{theorem}\label{thm3.1.1'}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \(E \subseteq X\), \(f\) 是 \(E\) 上实函数, 那么
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item 当 \(f\) 可测时, \(E\) 必是可测集; 
  \item 当 \(f\) 可测时, \(f\) 作为 \(E\) 的可测子集 \(E_1\) 上函数时也是可测的; 
  \item 当 \(E_1 \cap E_2 = \varnothing\), \(E = E_1 \cup E_2\), \(E_1, E_2 \in\mathbf R\) 时, \(f\) 在 \(E\) 上是可测的充要条件为 \(f\) 同时是 \(E_1, E_2\) 上的可测函数; 
  \item \(f\) 是 \(E\) 上可测函数的充要条件为下面四个中的任何一个成立 (下面``实数''指可取无限大的实数) : 
  \begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
    \item \(E(f = \infty) \in\mathbf R\), 并且对任何实数 \(c, d, E(c \leqslant f < d) \in\mathbf R\).
    \item \( E(f = -\infty) \in\mathbf R \), 并且对任何实数 \( c \), \( E(c < f) \in\mathbf R \).
    \item 对任何实数 \( c \), \( E(f \leqslant c) \in\mathbf R \).
    \item \( E(f = \infty) \in\mathbf R \), 并且对任何实数 \( c \), \( E(f < c) \in\mathbf R \).
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{thm3.1.2'}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \( E \subseteq X \), 又设 \( f, g \) 是 \( E \) 上可测函数, 那么
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
  \item 对任何实数 \( a \), 如果 \( af \) 有意义, 那么 \( af \) 是 \( E \) 上可测函数;
  \item 如果 \( f + g \) 有意义, 那么 \( f + g \) 是 \( E \) 上可测函数;
  \item 如果 \( fg, f/g \) 是有意义的, 那么它们都是 \( E \) 上可测函数;
  \item \(\max (f, g), \min (f, g)\) 都是 \( E \) 上可测函数;
  \item \(|f|\) 是 \( E \) 上可测函数.
\end{enumerate}
\end{theorem}
{\color{red}\begin{rmk}
	上述有意义均指不发生不定式的情形, 即$0\cdot\infty$, $\infty+(-\infty)$, $0/0$, $\infty/\infty$等.
\end{rmk}}

\begin{theorem}\label{thm3.1.3'}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \( E \subseteq X \). 又设 \(\{f_n\}\) 是 \( E \) 上可测函数的序列. 那么 \(\{f_n\}\) 的上确界函数, 下确界函数, 上限函数, 下限函数等都是 \( E \) 上的可测函数.
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{thm3.1.4'}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \( E \subseteq X \). 又设 \( f \) 是 \( E \) 上可测函数, 一定存在一列 \(\{f_n\}\), 每个 \( f_n \) 是可测集的特征函数的线性组合, 使得 \(\{f_n\}\) 在 \( E \) 上处处收敛于 \( f \).
\end{theorem}

\begin{rmk}
	请读者注意, 除这一小节外, \textbf{本课程其余地方, 如无特别说明,``函数''均指``有限函数'',``实数''均指有限实数.}
\end{rmk}

\section{Borel 可测函数}

前面讨论了一般可测空间 \((X,\mathbf R)\) 上的可测函数. 它的一个重要的特殊情况就是Lebesgue可测空间上的Lebesgue可测函数. 现在还要简要介绍一下比Lebesgue可测函数更为特殊, 但是却又常常用到的 Borel 可测函数概念.

\begin{definition}
\(\mathbf B \) 是 \( \mathbb E^1 \) 上 Borel 集全体, \((\mathbb E^1,\mathbf B)\) 是 Borel 可测空间, 设 \( f \) 是定义在 \( E \) 上的有限实函数, 如果对一切实数 \( c \), 集 \( E(c \leqslant f) \) 都是 Borel 集, 那么称 \( f \) 是 \( E \) \textbf{Borel 可测函数}, 也称做 \textbf{Baire 函数}\footnote{在一般拓扑空间的情况下, Borel 函数类与 Baire 函数类是有区别的, 在$n$维Euclid空间中是没有区别的}. 
\end{definition}

对 \( (\mathbb E^1,\mathbf B) \) 用定理 \ref{thm3.1.2} 的 \ref{thm3.1.2.1}, 就知道 Borel 可测函数的定义域 \( E \) 必是 Borel 可测集. 例 \ref{eg1}, 例 \ref{eg2} 中函数都是 Borel 可测函数. 

记 \( E \) 上所有 Borel 可测函数全体为 \( \mathscr{B}(E) \), 称 \( \mathscr{B}(E) \) 为 \textbf{Borel 可测函数类}或 \textbf{Baire 函数类}. 根据定理 \ref{thm3.1.4}, \ref{thm3.1.5} 及推论 \ref{cor3.1.5} 便知道 \( \mathscr{B}(E) \) 是关于代数运算及极限运算封闭的函数类. 换句话说, 当 \( f, h \in \mathscr{B}(E) \) 时, 那么它们的线性组合 \( \alpha f + \beta h \), 最大值函数 \( \max(f, h) \), 绝对值函数 \( |f| \) 等等都是 \( \mathscr{B}(E) \) 中的函数. 当 \( \{f_n\} \) 是 \( \mathscr{B}(E) \) 中的一列函数, 那么 \( \limsup\limits_{n \to \infty} f_n \), \( \liminf\limits_{n \to \infty} f_n \), \( \lim\limits_{n \to \infty} f_n \) (如果存在且是有限函数) 都是 \( \mathscr{B}(E) \) 中的函数. 

Borel 可测函数类 \( \mathscr{B}(E) \) 还可以用另一种方式引入. 例如当 \( E = [a, b] \) (\( E \) 为一般 Borel 集情况也一样讨论). \( E \) 上所有连续函数全体记为 \( \mathscr{B}_0(E) \), 称为第零类. 任取 \( \mathscr{B}_0(E) \) 中一列函数 \( \{f_n\} \), 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} f_n \) 存在, 而且是有限函数, 当 \( f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \) 不属于 \( \mathscr{B}_0(E) \) 时, 这种 \( f \) 的全体记为 \( \mathscr{B}_1(E) \), 称为第一类. 然后再从 \( \mathscr{B}_0(E) \cup \mathscr{B}_1(E) \) 中任取一列函数 \( \{f_n\} \), 如果 \( \lim\limits_{n \to \infty} f_n \) 存在且是有限函数, \( f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n \) 不属于 \( \mathscr{B}_0(E) \cup \mathscr{B}_1(E) \) 时, 这种 \( f \) 的全体记为 \( \mathscr{B}_2(E) \), 如此一直进行下去所得出的函数全体记为 \( \mathscr{B}(E) \). Baire 就曾经是用这种方式引人的, 所以 \( \mathscr{B}(E) \) 又称为 Baire 函数类. 

下面是 Borel 可测函数和Lebesgue可测函数的关系. 

\begin{theorem}\label{thm3.1.7}
设 \( E \) 是直线上点集, \( f \) 是定义在 \( E \) 上的有限实函数. 如果 \( f \) 在 \( E \) 上是 Borel 可测的, 那么 \( f \) 必是 \( E \) 上Lebesgue可测函数. 
\end{theorem}

\begin{proof}
因 \( f \) 在 \( E \) 上是 Borel 可测的, 所以, 对任何实数 \( c \), \( E(f \geqslant c) \in B \), 但 \( B \subseteq L \), 因而 \( f \) 在 \( E \) 上是Lebesgue可测的.
\end{proof}

下面是更为深入的结果. 

\begin{theorem}\label{thm3.1.8}
设 \( E \) 是直线上的点集, \( f \) 是 \( E \) 上有限的Lebesgue可测函数, 那么一定存在全直线上的 Borel 可测函数 \( h \), 使得 \( m(E(f \neq h)) = 0 \). 
\end{theorem}

\begin{proof}
根据定理 \ref{thm3.1.6}, 存在 \( E \) 上一列函数 \( (f_n) \), 每个 \( f_n \) 是Lebesgue可测集 \( (E \) 的子集) 的特征函数的线性组合, 即 \( f_n = \sum\limits_{i=1}^{l_n} \alpha_i^{(n)} \chi_{E_i}^{(n)} \), 使得 \( \{f_n\} \) 在 \( E \) 上处处收敛于 \( f \). 

又根据Lecture 7 定理 17, 对每个 \( E_i^{(n)} \), 存在 Borel 集 \( B_i^{(n)} \), 使得 \( E_i^{(n)} \supseteq B_i^{(n)} \), 而且 \( m(E_i^{(n)} - B_i^{(n)}) = 0 \). 

作直线上函数
\[h_n = \sum\limits_{i=1}^{l_n} \alpha_i^{(n)} \chi_{B_i}^{(n)}, \quad n = 1, 2, \dots,\]

显然, \( h_n(n = 1, 2, \dots) \) 都是 Borel 可测的, 而且 \[ E(f_n \neq h_n) \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{l_n} (E_i^{(n)} - B_i^{(n)}), \] 因此 \( m(E(f_n \neq h_n)) = 0 \). 记 \( E_0 = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E(f_n \neq h_n) \), 显然 \( m(E_0) = 0 \). 

由于在 \( E \) 上, \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n = f \), 所以
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} h_n(x) = f(x), \quad x \in E - E_0 \label{3.1.4}
\end{equation}
再根据Lecture 7 定理 17, 有 Borel 集 \( B_0 \supseteq E_0 \), 适合 \( m(B_0) = 0 \). 令 \( B_1 = \mathbb E^1 - B_0 \), \( B_1 \) 是 Borel 集. 从 \eqref{3.1.4} 得到
\begin{equation}
	\chi_{B_1}(x)f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} h_n(x) \chi_{B_1}(x), \quad x \in E \cap B_1 \label{3.1.5}
\end{equation}
当 \( x \in E - B_1 \) 时, \eqref{3.1.5} 式两边在这种点上的值都是零, 因此 \eqref{3.1.5} 式实际上是在 \( E \) 上成立. 

对原来只定义在 \( E \) 上的函数 \(\widetilde h(x) = \chi_{B_1}(x)f(x) \) 补充定义它在 \( \mathbb E^1 - E \) 上的值是零, 补充定义后所得的全直线上定义的函数记为 \( h(x) \). 显然, 在全直线上有
\begin{equation}
	h(x) = \lim\limits_{n \to \infty} h_n(x) \chi_{B_1}(x) \label{3.1.6}
\end{equation}
因为 \(\{h_n \chi_{B_1}\}\) 是直线上的 Borel 可测函数列, 由推论 \ref{cor3.1.5}, \( h \) 是直线上的 Borel 可测函数. 显然 \( E(f \neq h) \subseteq B_0 \), 因而 \( m(E(f \neq h)) = 0 \). 
\end{proof}

定理 \ref{thm3.1.8} 可以推广到更一般的测度空间上. (我们可能会在Lecture 9的习题中见到.) 

\end{document}